Gianfranco Oddenino – Liceo Classico e Scientifico Statale "Silvio Pellico

Esperimento della doppia fenditura con gli elettroni

Il video della dottoressa Mithuna Yoganathan, PhD in fisica teorica all’Università di Cambridge, presenta il classico esperimento della doppia fenditura eseguito con gli elettroni.

La cosa particolarmente interessante, che viene messa in evidenza nel video, è che la chiusura di una delle due fenditure fa scomparire la figura di interferenza dallo schermo, ma l’immagine che allora compare è quella di diffrazione da una singola fenditura e non una curva di forma simil-gaussiana come viene rappresentata sulla quasi totalità dei libri di fisica e dei documenti reperibili on-line.

https://www.youtube.com/@LookingGlassUniverse

Integrazione numerica del circuito RC con la calcolatrice grafica

Condensatore in carica

ℰ - V_{R} - V_{C} = 0

{\begin{cases} ℰ - R I - \frac{q}{C} = 0 \\ I = \frac{∆ q}{∆ t} \end{cases}

{\begin{cases} I = \frac{ℰ}{R} - \frac{q}{R C} \\ ∆ q = I ∆ t \end{cases}

{\begin{cases} q_{0} = 0 \\ I_{n} = \frac{ℰ}{R} - \frac{q_{n}}{R C} \\ q_{n + 1} = q_{n} + I_{n} ∆ t \end{cases}

\begin{array}{l} E = 20 V \\ R = 1000 Ω \\ C = 0.001 F \\ d t = 0.01 s \end{array}

\begin{array}{l} q_{0} \to u_{0} \\ q_{n} \to u_{n} \\ I_{n} \to v_{n} \end{array}

{\begin{cases} u_{0} = 0 \\ v_{n} = \frac{E}{R} - \frac{u_{n}}{R C} \\ u_{n + 1} = u_{n} + v_{n} d t \end{cases}

Condensatore in scarica

{- V}_{C} - V_{R} = 0

{\begin{cases} - \frac{q}{C} - R I = 0 \\ I = \frac{∆ q}{∆ t} \end{cases}

{\begin{cases} I = - \frac{q}{R C} \\ ∆ q = I ∆ t \end{cases}

{\begin{cases} q_{0} = 0.02 \\ I_{n} = - \frac{q_{n}}{R C} \\ q_{n + 1} = q_{n} + I_{n} ∆ t \end{cases}

\begin{array}{l} R = 1000 Ω \\ C = 0.001 F \\ d t = 0.01 s \end{array}

\begin{array}{l} q_{0} \to u_{0} \\ q_{n} \to u_{n} \\ I_{n} \to v_{n} \end{array}

{\begin{cases} u_{0} = 0.02 \\ v_{n} = - \frac{u_{n}}{R C} \\ u_{n + 1} = u_{n} + v_{n} d t \end{cases}

Esercizi di fisica per la classe 3H

1) Un bicchiere di limonata calda di massa 0,200 kg si trova alla temperatura iniziale di 80 °C. La si vuole raffreddare inserendo un certo numero di cubetti di ghiaccio estratti dal freezer alla temperatura di -18 °C. Calcola la massa di ghiaccio necessaria se si vuole ottenere una temperatura finale di 12 °C.
Dati: c_{specifico ghiaccio} = 2090 J kg^-1 K^-1; c_{latente ghiaccio} = 334 kJ kg^-1
[m = 0,135 kg]

2) Una bottiglia chiusa di volume 1 litro, contiene aria alla temperatura di 20 °C alla pressione normale di 10⁵ Pa. Esposta al sole si riscalda raggiungendo la temperatura di 55 °C. Calcola la pressione finale al suo interno.
[p = 111939 Pa]

3) Un pallone aerostatico ha un volume di 1400 m³ costanti e contiene gas alla pressione di 101325 Pa. Salendo in quota la pressione scende a 92000 Pa e la temperatura rimane costante, il gas si espande e fuoriesce. Calcola il volume di gas che esce dal pallone.
[V = 141,9 m³]

4) Una bombola contiene 20 dm³ di gas alla pressione di 2×10⁶ Pa alla temperatura di 20 °C. Calcola il numero di moli presenti all’interno. Viene messa in collegamento con un’altra bombola inizialmente vuota di volume 80 dm³. Il gas occupa entrambi i volumi. Calcola la pressione finale ipotizzando che durante l’espansione la temperatura scenda a 13,5 °C.
[n = 16,42 mol; p = 391,1 kPa]

Esercizi su condensatori e resistenze per la 4G

1) Un cavo di rame (resistività a 20 °C = 1,724×10^-8 Ω·m) ha una lunghezza di 35 km ed un raggio di 2,3 cm. Nel cavo circola una corrente costante I = 100 A per un intervallo di tempo pari ad 1 ora. Il coefficiente di temperatura della resistività del rame è α = 0,00393 °C^-1. Calcola:
a) l’energia dissipata per effetto Joule a 20 °C;
b) la resistenza del cavo a 40 °C e l’energia dissipata a 40 °C;
c) la variazione assoluta e percentuale dell’energia dissipata passando da 20 °C a 40 °C.
[R = 0,363 Ω (a 20 °C); E = 13,07 MJ; R = 0,392 Ω (a 40 °C); E = 14,10 MJ; ΔE = 1,027 MJ; ΔE% = 7,86%]

2) Un condensatore è collegato ad una d.d.p. di 380 V ed ha una capacità di 2,5 μF. Viene successivamente scollegato dalla d.d.p. Calcola: a) la carica accumulata sulle armature, b) il valore del campo elettrico al suo interno sapendo che le armature distano 1,5 cm, c) il valore del campo elettrico quando al suo interno viene inserito un dielettrico con ε_r = 25, d) il nuovo valore della capacità, e) la nuova d.d.p.
[Q = 9,5×10^-4 C; E = 25,33 kV/m; E = 1,013 kV/m; C = 62,5 μF; d.d.p. = 15,2 V]

Calcolo di un’orbita astronautica mediante l’integrazione numerica con la calcolatrice grafica

gravitation_turtle.py

from math import *
from turtle import *

# valori di G e M massa Terra
G=6.67E-11; M=5.97E24

# valori orbita geostazionaria
x=4.2164E7; y=0
vx=0; vy=3066

# integrazione numerica
t=0; dt=60
while t<86400:
  setheading(degrees(atan2(vy,vx)))
  goto(x/1E6, y/1E6)
  r=sqrt(x**2+y**2)
  ax=-G*M*x/r**3; ay=-G*M*y/r**3
  vx=vx+ax*dt; vy=vy+ay*dt
  x=x+vx*dt; y=y+vy*dt
  t=t+dt

https://my.numworks.com/python/gianfranco-oddenino/gravitation_turtle

gravitation_kandinsky.py

from math import *
from kandinsky import *

# valori di G e M massa Terra
G=6.67E-11; M=5.97E24

# valori orbita geostazionaria
x=4.2164E7; y=0
vx=0; vy=3066

# integrazione numerica
t=0; dt=60
fill_rect(159,110,3,3,'blue')
while t<86400:
  set_pixel(160+round(x/1E6),111-round(y/1E6),'black')
  r=sqrt(x**2+y**2)
  ax=-G*M*x/r**3; ay=-G*M*y/r**3
  vx=vx+ax*dt; vy=vy+ay*dt
  x=x+vx*dt; y=y+vy*dt
  t=t+dt

https://my.numworks.com/python/gianfranco-oddenino/gravitation_kandinsky

Esercizi di dinamica per la classe 2E

1) Un blocco di massa 15 kg si trova su un piano orizzontale sul quale è presente un coefficiente di attrito statico pari a 0,25. A questo blocco è legata una corda attaccata, all’altro capo, ad un blocco di massa m incognita posto su di un piano inclinato di 40° sul quale c’è lo stesso coefficiente di attrito statico. Calcola:
a) quale deve essere il valore di m affinché l’intero sistema possa mettersi in movimento;
b) con quale accelerazione si muove l’intero sistema, una volta in moto, sapendo che il coefficiente di attrito dinamico è pari a 0,12.
[m >= 8,3098 kg; a = 1,1689 m/s²]

2) Una pallina di plastilina di massa 25 g e raggio 1 cm, cade nell’acqua con regime turbolento. Sapendo che l’acqua ha una densità di 1000 kg/m³, calcola utilizzando un intervallo dt per l’integrazione numerica di 0,1 s la posizione e la velocità a t = 0,2 s. Cr = 0,4
[metodo Eulero base: 0,098 m; 1,718625153 m/s;
metodo di Eulero modificato: 0,293975863 m; 1,718625153 m/s]

3) Un corpo di massa 80 kg è posto su un piano orizzontale sul quale c’è un coefficiente di attrito pari a 0,35. Una persona spinge il corpo dall’alto verso il basso con un angolo di 25° rispetto all’orizzontale e una forza di 380 N. Calcola: a) quanto vale la forza di attrito; b) il lavoro della forza di attrito, quando il corpo viene spostato di 9,2 m.
[330,61 N; -3041,6 J]

4) Una macchinina di massa 120 g viene lanciata da un bambino con una velocità di 1,2 m/s su per una salita. Calcola fino a che altezza giunge la macchinina prima di fermarsi. Il bambino, in realtà, vuol fare superare alla macchinina un piccolo dosso di altezza 15 cm; con quale velocità deve lanciare la macchinina per riuscire nel suo intento?
[7,347 cm; 1,715 m/s]

Esercizi di fisica per la classe 2E

Una nave si trova in un punto posto alle coordinate (120, 50) km rispetto all’origine O del S.R. In un tempo pari a 3,5 ore si sposta in una nuova posizione di coordinate (30, 170) km. Infine raggiunge la posizione finale posta in (-10, 210) km in un intervallo di tempo di 3 ore. Calcola le velocità vettoriali tra 1 e 2 e tra 2 e 3, la velocità vettoriale sull’intero percorso, il suo modulo e l’angolo che questa forma con l’asse x positivo.

(-25,71; 34,29) km/h; (-13,33; 13,33) km/h; (-20,24; 24,62) km/h; 31,72 km/h; 129°

Un aereo sta volando con una velocità di 360 km/h in direzione Est 35° Nord. In un tempo pari a 25 s compie una virata che gli fa modificare al velocità in 240 km/h in direzione Ovest 80° Sud. Calcola il vettore accelerazione, il suo modulo e l’angolo che forma rispetto all’asse x positivo.

100 m/s (81,92; 57,36) m/s; 66,67 m/s (-11,58; -65,65) m/s; (-3,73; -4,92) m/s²; 6,180 m/s²; 233°

Una palla viene lanciata con una velocità di 25 m/s e un angolo di 52° rispetto al suolo da una quota 0 m. Calcola l’altezza massima raggiunta. Cadendo finisce sopra un balcone posto ad altezza 12 m rispetto al suolo. Calcolo il tempo di volo, lo spostamento orizzontale e il modulo della velocità immediatamente prima che cada sul balcone.

19,78 m; 3,268 s; 50,29 m; 19,74 m/s

Esercizi sulle onde per la 4G

Una corda di lunghezza 45 cm è sottoposta ad una tensione di 85 N. Sapendo che è in grado di oscillare secondo le armoniche 3 e 4 aventi rispettivamente frequenze 330 e 440 Hz, calcola: a) la frequenza e la lunghezza d’onda dell’armonica fondamentale; b) la velocità di propagazione dell’onda; c) la densità lineare della corda.
Un’onda stazionaria di ampiezza 0,7 cm è presente su una corda di lunghezza 80 cm; si osserva che presenta altri 3 nodi oltre ai 2 presenti agli estremi. a) Determina di quale armonica si tratta. b) Sapendo che la velocità di propagazione nella corda è pari a 1200 m/s, calcola la frequenza dell’armonica. c) Scrivi la funzione matematica y(x,t) che rappresenta l’onda stazionaria.

Soluzioni dell’equazione di Schrödinger di problemi unidimensionali

Meccanica quantistica

Ipercubo

Animazione HTML5+Javascript di un ipercubo >>> ipercubo.html

Animazione Python+Tkinter di un ipercubo >>> ipercubo.py

import tkinter as tk
from math import sin, cos

class Ipercubo:
    def __init__(self, master):
        self.master = master
        self.canvas = tk.Canvas(master, width=600, height=600, bg='white')
        self.canvas.pack()
        
        self.angolo = 0.0
        self.punti = self.genera_vertici()
        self.spigoli = self.genera_spigoli()
        self.disegna()

        self.anima()

    def genera_vertici(self):
        # Vertici di un ipercubo in 4D
        return [(-1, -1, -1, -1), (-1, -1, -1, 1), (-1, -1, 1, -1), (-1, -1, 1, 1),
                (-1, 1, -1, -1), (-1, 1, -1, 1), (-1, 1, 1, -1), (-1, 1, 1, 1),
                (1, -1, -1, -1), (1, -1, -1, 1), (1, -1, 1, -1), (1, -1, 1, 1),
                (1, 1, -1, -1), (1, 1, -1, 1), (1, 1, 1, -1), (1, 1, 1, 1)]

    def genera_spigoli(self):
        # Genera gli spigoli tra i vertici
        spigoli = []
        for i in range(16):
            for j in range(i + 1, 16):
                if bin(i ^ j).count('1') == 1:  # Collega i punti che differiscono in un solo bit
                    spigoli.append((i, j))
        return spigoli

    def proietta(self, punto):
        # Proietta il punto 4D in 2D
        z = punto[2]
        k = 300 / (3 + z)  # Fattore di prospettiva
        x = punto[0] * k
        y = punto[1] * k
        return (x + 300, y + 300)  # Trasla al centro del canvas

    def disegna(self):
        self.canvas.delete("all")  # Pulisce il canvas
        punti_proiettati = [self.proietta(self.ruota(punto)) for punto in self.punti]

        # Disegna gli spigoli tra i vertici
        for spigolo in self.spigoli:
            self.canvas.create_line(punti_proiettati[spigolo[0]], punti_proiettati[spigolo[1]], fill='black')

    def ruota(self, punto):
        x = punto[0]
        y = punto[1]
        z = punto[2] 
        t = punto[3]

        # Ruota l'ipercubo attorno agli assi
        angolo_x = self.angolo * 0.1
        angolo_y = self.angolo * 0.2
        angolo_z = self.angolo * 0.3
        angolo_t = self.angolo * 0.4

        x, y = x * cos(angolo_x) - y * sin(angolo_x), x * sin(angolo_x) + y * cos(angolo_x)
        y, z = y * cos(angolo_y) - z * sin(angolo_y), y * sin(angolo_y) + z * cos(angolo_y)
        z, t = z * cos(angolo_z) - t * sin(angolo_z), z * sin(angolo_z) + t * cos(angolo_z)
        t, x = t * cos(angolo_t) - x * sin(angolo_t), t * sin(angolo_t) + x * cos(angolo_t)
 
        return (x, y, z, t)

    def anima(self):
        self.angolo += 0.05  # Incrementa l'angolo
        self.disegna()
        self.master.after(50, self.anima)  # Richiama nuovamente anima dopo 50 ms

if __name__ == "__main__":
    root = tk.Tk()
    root.title("Ipercubo")
    Ipercubo(root)
    root.mainloop()

Per provare la versione Python è necessario disporre di un ambiente di sviluppo per Python, come Thonny – Python IDE for beginners scaricabile gratuitamente all’indirizzo https://thonny.org/
Dopo l’installazione di Thonny è sufficiente copiare e incollare il listato precedente nell’ambiente di sviluppo ed eseguirlo con il Run ▶.