Matematica

Il calcolo della parallasse

Teoremi di base di trigonometria - Teorema del coseno o di Carnot (o di Pitagora generalizzato)

Consideriamo il triangolo ABC. Chiamiamo a, b, e g gli angoli del triangolo di vertici A, B e C, e a, b, e c i lati opposti a questi vertici.

Per il teorema delle proiezioni, si ha:

a = b cos g + c cos b      (1)

b = c cos a + a cos g      (2)

c = a cos b + b cos a     (3)

Moltiplicando ambo i membri della (1) per a, ambo i membri della (2) per -b e, infine, ambo i membri della (3) per -c, si ottiene:

a² = a b cos g + a c cos b

- b² = - b c cos a + a b cos g

- c² = - a c cos b + b c cosa

Addizionando, quindi, membro a membro, le tre equazioni ottenute e riducendo i termini simili, si ottiene:

a² - b² - c² = -2 b c cos a

Da cui:

a² = b² + c² -2 b c cos a

Analogamente possiamo scrivere le relazioni per gli altri due lati ottenendo:

b² = a² + c² -2 a c cos b

c² = a² + b² -2 a b cos g

Possiamo quindi riassumere il teorema di Carnot (o di Pitagora generalizzato) con il seguente enunciato:

In un triangolo qualsiasi, il quadrato della misura di ogni lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell'angolo tra essi compreso.