Fig. 1Per mettere in evidenza come la uniformità e continuitaà
della corrispondenza tra la variabile t e due funzioni x(t) e y(t)
non siano condizioni sufficienti per rappresentare graficamente l'insieme dei punti di
coordinate [x(t),y(t)] con una "curva" piana, Peano ideò una legge
capace di mettere in corrispondenza il parametro t, numero reale compreso
tra 0 e 1, con i punti di un quadrato.
Non scendiamo in particolari sull'espressione analitica di tale corrispondenza, osserviamo
solo che il numero reale t può essere espresso in una qualsiasi base di
numerazione, ad esempio nella base 2 che utilizza solo le cifre 0 e 1, o nella base 3 che
utilizza solo le cifre 0,1 e 2. E' invece interessante vedere come Peano chiarisca la
natura della corrispondenza con un processo grafico ricorsivo. Avendolo a disposizione,
avrebbe quindi volentieri usato un elaboratore elettronico che, opportunamente indirizzato
dal programmatore, svolge con rapidità ed eleganza il compito di rendere "vivo"
l'esempio tracciandolo rapidamente sotto i nostri occhi.
Dice infatto Peano (citazione dapprima in interlingua
e poi tradotto liberamente) "Nos pone quadratos parziale, ut illo fi adiacente. In
base di numerazione 2 dividiamo in quattro quadratini, mettendoli nell'ordine indicato
nella figura 1a, in base di numerazione 3 come in figura 1b. Poi si divide ogni quadrato
parziale in altri quattro quadrati e così all'infinito. La figura 1c rappresenta la
successione di 16 quadrati in base 2, la figura 1d di 81 quadrati in base 3. Se
rappresentiamo con il segno "U rovesciato" la successione di figura 1a, allora
la figura 1e rappresenta la successione di 64 quadrati in base 2".
Fig. 1
Così Peano. Vediamo ora come procede il computer seguendo le sue istruzioni, opportunamente tradotte da un programmatore che usa un linguaggio ricorsivo.
Innanzi tutto disegna una semplice curva ad U su un foglio
quadrato diviso in otto parti, questa è la curva di ordine 0 (vedi figura 2, qui sotto a
sinistra).
Fig. 2 e Fig. 3
Poi analizza le parti di tale disegno e lo modifica nel modo raffigurato in fig. 3,
costruendo la curva del primo ordine che quindi quella della figura 4. Come ognuno può
facilmente costruirsi (per esercizio!) seguendo le indicazioni suddette.
Fig.
4
Continuando ad aumentare la suddivisione è possibile intuire qual'è la curva limite
proposta da Peano.
Essa riempe l'intero piano ma è una curva continua in ogni suo punto ovvero, con un
linguaggio non matematico, si può ricalcare con la punta di una matita senza mai staccare
la stessa dal foglio.
La curva in ogni suo punto non è derivabile ovvero, ricordando che i "punti"
sono vertici della spezzata, non esiste una retta che passi per quel punto ed uno vicino e
coincida con la curva: ne esistono due. E' evidente soprattutto che reinerando il
processo, passando ad esempio dalla curva di ordine 4 a quella di ordine 5, non si può
prevedere in che direzione si trova l'arco di curva uscente dal punto, l'informazione
locale non sufficiente per individuare tale direzione, si deve considerare il mutamento
totale di tutta la curva.
Le funzioni"per bene" invece la individuano. Se ad esempio [(x0,f(x0)]
sono le coordinate di un punto P di una curva (il parametro t è
qui coincidente con la x) la funzione chiamata f(x0) definisce il suo
valore nell'intorno di x0 (continuità) ed essendo f(x0+h)=f(x0)+hf(x0)
si sa in che direzione il punto P si sposta per un incremento h
di x0 (derivabilità).
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